La notation ? en mathématique : Termial

Nota Bene :

1. Il faut savoir que cette notation n’est pas couramment employée et se doit donc d’être utilisée dans le bon contexte.
2. La notation point d’interrogation est distincte de la fonction de Minkowski.
3. Je n’ai pas trouvé de traduction pour “Termial” en français.

Définition :

Le Termial est présenté par Knuth comme une fonction analogue à la fonction factorielle ”!”.

La fonction factorielle étant définie $\forall n \in \mathbb{N}$ par :

$n!=\prod^n_{i=1}i= 1 \times 2 \times \ldots \times (n-1) \times n$

La fonction “termial” se définie par :

$n?=\sum^n_{i=1}i = 1 + 2 + \ldots + (n-1) + n$

Cette série est grossièrement divergente.

Extension pour n non entier :

Comme pour la fonction factorielle avec la fonction gamma, il est possible d’étendre la fonction “Termial” à des valeurs non entières en prenant :

$n?=\sum^n_{i=1}i = \frac{n(n+1)}{2}$

Ainsi :

$0.5? = \frac{0.5(0.5+1)}{2} = \frac{3}{8}$

Sources :

1. DONALD (“DON”) ERVIN KNUTH
2. Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48.
3. en.wikipedia.org - Termial