Factorielle

Definition

La factorielle d’un entier naturel $n$ est le produit des entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à $n$ :

$\prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times \ldots n-1 \times n$

Information

• La factorielle de $0$ est $1$ : $0! = 1$. Pour en savoir plus : Pourquoi 0! = 1 ?
• Il y a $32!$ permutations possible dans un jeu de 32 cartes : Arrangement, Permutation, Combinaisons
• 1! ne se dit pas 1 factorielle mais factorielle 1.
• La fonction gamma étend la factorielle aux réels positifs avec $x!=\Gamma(x+1)$. Ainsi, $0{,}5!=\Gamma(1{,}5)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. On a aussi $\Gamma(0{,}5)=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt=\sqrt{\pi}$.

Example

• $5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120$
• $4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24$
• $0! = 1$

Latex

La factorielle en latex s’écrit :

n! = \prod_{i=1}^n i

$n! = \prod_{i=1}^n i$

Python

La factorielle est un exemple classique de fonction récursive :

def factorielle(n):
    if n == 0:
        return 1
    else:
        return n * factorielle(n-1)

On peut bien sûr également utiliser la fonction math.factorial.