Pourquoi 0! = 1 ?

Définition : “Factoriel”

En dénombrement, le factoriel d’un entier naturel “n” est égal au produit des entiers naturels appartenant à $]0,n]$. Autrement dit :

$n! = \prod^n_{i=1} i = 1 \times 2 \times \ldots \times (n-1) \times n$

Pourquoi 0! est égal à 1 ?

Depuis la définition du factoriel

Repartons de la définition :

$n! = 1 \times \ldots \times (n-1) \times n$

Autrement dit $n! = n \times (n-1)!$. Cependant, si on prend $n = 0$, nous obtenons l’égalité $0! = 0 \times (-1)!$. Le factoriel de -1 étant indéfini…

Néanmoins :

$n! = n \times (n-1)! \equiv (n-1)! = \frac{n!}{n}$

Pour $n = 1$, alors :

$(1-1) ! = \frac{1!}{1} = 0! = 1$

Depuis la fonction Gamma

On sait que :

$\forall n \in\mathbb{N}^* \quad|\quad \Gamma(n)=(n-1)!=\int_0^{+\infty}t^{n-1}\times e^{-t}dt$

Ce qui nous donne : $0! = (1-1)! = \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} t^{1-1} e^{-t} dt$

Ou tout simplement :

$\int_0^{+\infty}e^{-t}dt$

La primitive de $e^{-t}$ est $-e^{-t}$.

Ainsi :

$0! = (\lim_{t\to\infty} -e^{-t}) - (-e^0) = 0 + 1 = 1$

Depuis la définition des permutations d’un ensemble

En pratique, on peut utiliser le factoriel pour, par exemple, calculer le nombre de permutations d’un ensemble :

• Si un ensemble $E=\{0,1\}$, alors cet ensemble possède $(\#E)!=2$ permutations. L’ensemble des permutations est donc : $\{(0,1),(1,0)\}$.

• Si un ensemble $E=\{0,1,2\}$, alors cet ensemble peut être permuté 6 fois : Son ensemble de permutations étant $\{(0,1,2),(0,2,1),(1,0,2),(1,2,0),(2,0,1),(2,1,0)\}$.

• Donc, si un ensemble $E = \emptyset$, alors son cardinal est 0 et peut être permuté 1 fois. “Il existe une seule possibilité pour permuter 0 élément”. L’ensemble de ses permutations contient uniquement la permutation vide, notée $\{()\}$.

Sources

1. Fonction Gamma
2. Permutation - Wikipédia
3. Fonction Gamma - maths-france.fr