La Factorisation de Cholesky

Définition :

Si $A$ est une matrice symétrique définie positive, alors il existe une unique matrice triangulaire inférieure $L$ , à diagonale strictement positive, telle que $A = LL^T$ . On dit alors que $A$ admet une factorisation de Cholesky.

Vérification :

Pour calculer la décomposition de A, nous devons vérifier que A est bien symétrique définie positive :

Symétrique :

Une matrice $A$ est dite symétrique si $A=A^T$ . C’est-à-dire : $\forall i,j \in \dim{A}, A_{i,j} = A_{j,i}$

Par exemple : $\begin{bmatrix} -4 & -2 \cr -2 & 13 \end{bmatrix}$

Définie positive :

Une matrice A est dite définie positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives. Je vous renvoie vers mon article sur les valeurs propres et vecteurs propres pour en savoir plus :

Valeurs et Vecteurs propres

Résolution :

Une fois la vérification faite, en dimension 3, on cherche une matrice $L$ telle que $A = LL^T$ .

$L = \begin{bmatrix} L_{1,1} & 0 & 0 \cr L_{2,1} & L_{2,2} & 0 \cr L_{3,1} & L_{3,2} & L_{3,3}\cr \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} L_{1,1} & 0 & 0 \cr L_{2,1} & L_{2,2} & 0 \cr L_{3,1} & L_{3,2} & L_{3,3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} L_{1,1} & L_{2,1} & L_{3,1} \cr 0 & L_{2,2} & L_{3,2} \cr 0 & 0 & L_{3,3} \end{bmatrix}$

$$A = \begin{bmatrix} L_{1,1}^2 & * & * \cr L_{2,1}L_{1,1} & L_{2,1}^2 + L_{2,2}^2& * \cr L_{3,1}L_{1,1} & L_{3,1}L_{2,1}+L_{3,2}L_{2,2} & L_{3,1}^2 + L_{3,2}^2+L_{3,3}^2 \end{bmatrix}$$

Il suffit maintenant de résoudre équation par équation le système $A = LL^T$ .

Exemple :

Prenons $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \cr 2 & 7 \end{bmatrix}$ .

A étant de taille 2x2, alors : $A = LL^T= \begin{bmatrix} L_{1,1}^2 & L_{1,1}L_{2,1} \cr L_{2,1}L_{1,1} & L_{2,1}^2 + L_{2,2}^2 \end{bmatrix}$ .

Ce qui nous donne 4 équations:

$1 = L_{1,1}^2$
$2 = L_{1,1}L_{2,1}$
$2 = L_{1,1}L_{2,1}$
$7 = L_{2,1}^2 + L_{2,2}^2$

Donc:

$L_{1,1}=1$
$L_{2,1}=2$
$L_{2,2}=\sqrt{3}$

Ainsi :

$A=LL^T=\begin{pmatrix}1 & 2\cr 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\cr 2 & \sqrt{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\cr 0 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$

Utile pour le calcul de déterminant !

La décomposition de Cholesky offre un avantage pour le calcul de déterminant.

En effet, L étant triangulaire :

$\det(A)=\det(LL^T)=\det(L)\det(L^T)=\det(L)^2=\left(\prod_{i=1}^{\dim L}L_{i,i}\right)^2$

En python :

Il est possible d’effectuer une factorisation de Cholesky rapidement en Python grâce à numpy !

import numpy as np

A = np.array([[1,2], [2,7]])
B = np.linalg.cholesky(A)
print(B)

Pour en savoir plus : numpy.linalg.cholesky.