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Mathématiques2 min de lecture

Les Valeurs et Vecteurs Propres

Un scalaire lambda est une valeur propre de f si il existe un vecteur x non nul tel que f(x) = lambda x.

FR

Soit E un espace vectoriel de dimension fini, sur K\mathbb{K}. ff un endomorphisme (applications linéaires d’un espace vectoriel dans lui-même) de E.

Définition

Un scalaire λ\lambda est une valeur propre de ff s’il existe un vecteur x (le vecteur propre) non nul tel que f(x)=λxf(x)=\lambda x.

Exemple

A=[72−41]A = \begin{bmatrix} 7 & 2 \cr -4 & 1 \end{bmatrix}

Calcul du Polynôme Caractéristique

Le polynome caractéristique de A est défini comme: χA(λ)=det⁡(λIdimA−A)\chi_A(\lambda) = \det(\lambda I_{dim A} - A).

Ainsi :

χA(λ)=det⁡[λ−7−24λ−1]=(λ−7)(λ−1)+8=(λ−3)(λ−5)\chi_A(\lambda) = \det \begin{bmatrix} \lambda - 7 & -2 \cr 4 & \lambda -1 \end{bmatrix} = (\lambda - 7)(\lambda - 1) + 8 = (\lambda - 3)(\lambda - 5)

Calcul des Valeurs Propres

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique, c’est-à-dire les scalaires λ\lambda tels que χA(λ)=0\chi_A(\lambda)=0.

(λ−3)(λ−5)=0(\lambda - 3)(\lambda - 5) = 0 Admet 2 solutions: λ1,2={3,5}\lambda_{1,2}=\{3,5\}

Le Spectre d’une matrice est l’ensembles de ses Valeurs Propres associées. Ainsi :

Sp(A)={3,5}Sp(A)=\{3,5\}

Calcul des Vecteurs Propres

Pour calculer les Vecteurs Propres, on cherche les solutions de ker⁡(λ1,2I−A)\ker(\lambda_{1,2} I - A).

Pour λ=3\lambda = 3.

ker⁡(3I−A)=ker⁡[−4−242]\ker (3I - A) = \ker \begin{bmatrix} -4 & -2 \cr 4 & 2 \end{bmatrix}

Soit un Vecteur x=[XY]x = \begin{bmatrix} X \cr Y \end{bmatrix}.

[−4−242][XY]=[00]⇒2X+Y=0⇒Y=−2X⇒[XY]=X[1−2]\begin{bmatrix} -4 & -2 \cr 4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X \cr Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cr 0 \end{bmatrix} \Rightarrow 2X+Y = 0 \Rightarrow Y=-2X \Rightarrow \begin{bmatrix} X \cr Y \end{bmatrix} = X \begin{bmatrix} 1 \cr -2 \end{bmatrix}

ker⁡(3I−A)=Vect{[1−2]}\ker(3I - A) = Vect\{\begin{bmatrix} 1 \cr -2 \end{bmatrix}\}

Un vecteur propre associé à λ=3\lambda = 3 est donc [1−2]\begin{bmatrix} 1 \cr -2 \end{bmatrix}.

De la même façon, un vecteur propre de λ=5\lambda=5 est [1−1]\begin{bmatrix} 1 \cr -1 \end{bmatrix}.

Sources