Démonstration : L'union d'ensembles finis est finie

Propriété

Pour tout ensemble fini $I$ et toute famille $(A_i)_{i\in I}$ d’ensembles finis, l’union $\bigcup_{i\in I}A_i$ est finie.

Démonstration

Démontrons la propriété par récurrence sur $n=|I|$.

Initialisation. Pour $n=0$, la famille est vide et son union est $\varnothing$, qui est fini.

Induction. Supposons la propriété vraie pour toute famille de $n$ ensembles finis. Soit une famille $(A_i)_{i\in I}$ telle que $|I|=n+1$. Choisissons $x\in I$ et posons $J=I\setminus\{x\}$. Alors $|J|=n$ et

$\bigcup_{i\in I}A_i=\left(\bigcup_{i\in J}A_i\right)\cup A_x.$

Par hypothèse de récurrence, $\bigcup_{i\in J}A_i$ est fini. L’ensemble $A_x$ est également fini, et l’union de deux ensembles finis est finie puisque

$|B\cup C|\leq |B|+|C|<\infty.$

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

Conclusion. Par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb N$, y compris pour une famille vide.