Trouvez l'erreur ! Mathématiques Collège-Lycée

Note : Toutes les variables appartiennent à $\mathbb{R}$ .

Solutions à la fin !

Niveau 1 : Un bon début !

Ici, chaque ligne correspond à la ligne précédente à laquelle on ajoute ce qui est écrit à sa droite. Surtout, prenez votre temps ! Ce n’est pas un exercice compliqué, rappelez-vous juste de toutes les règles apprises au collège :).

$a = b$
$aa = ba$ En multipliant par a
$a^2 - b^2 = ba - b^2$ En soustrayant $b^2$
$(a+b)(a-b) = b(a-b)$ Identité remarquable : $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
$a+b = b$ En divisant par $(a-b)$
$b+b = b$ En remplaçant $a$ par $b$
$2b = b$
$2 = 1$ En divisant par b

Avez-vous trouvé l’erreur ?

Niveau 2 : Racine carré

Selon le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypothénuse est égale au carré de ses 2 autres cotés ( $a^2+b^2 = c^2$ ). Ce n’est pas le sujet :). Pour ne pas vous faire piéger, ne pensez pas à ce théorème !

$a^2 + b^2 = 9$
$\sqrt{a^2+b^2}=3$ Racine carré de 9
Si $a = 0$
$\sqrt{0^2+b^2}=3$
$\sqrt{b^2}=3$
$b=3$

Alors :) ? La dernière conclusion est incomplète. Pourquoi ?

Niveau 3 : Équation du second degré

Un niveau de première n’est pas requis pour résoudre l’équation ci-dessous, voilà votre indice.

$\frac{x+1}{x^2-1} = 3$
$x+1 = 3 \times (x^2 - 1)$
$3x^2-x-4 = 0$ <-Formule de résolution des équations de second degré
$x_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{49}}{6}$
$x_{1,2}=\{-1,\frac{4}{3}\}$

Un détail ne vous chagrine pas?

Niveau 4 : Intégrale simple

Pour celle-ci, un niveau terminal est requis, mais cela reste une équation très simple !

$\int x dx = \frac{x^2}{2}$

Une ligne, une erreur… non négligeable !

Niveau 5 : Limite

Si vous connaissez votre cours de math de 1ère , il ne devrait y avoir aucun soucis :)

$\lim\limits_{\substack{n \to \infty}}(1+\frac{1}{n})^n$

Comme $\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} (1 + \frac{1}{n}) = 1$

Et : $\lim\limits_{\substack{n \to \infty}} n = \infty$

Donc : $\lim\limits_{\substack{n \to \infty}}(1+\frac{1}{n})^n = 1^\infty = 1$

Logique non :) ?

Solution :

Niveau 1 :

$a=b$ donc $a-b=0$ . Or, on ne peut pas diviser par 0 ! Erreur à la ligne 5

Niveau 2 :

Par convention, $\sqrt{9}=3$ uniquement. En revanche, $\sqrt{b^2}=|b|$ . La ligne 5 donne donc $|b|=3$ , puis $b\in\{-3,3\}$ . La ligne 6 oublie la solution $b=-3$ .

Niveau 3 :

La division par 0 ! Même problème que pour le niveau 1 mais un peu plus subtile :). -1 n’est donc pas solution de l’équation car $(-1)^2-1=0$ .

De plus, l’utilisation de formules pour le second degrés n’était pas nécessaire ! Ne voyez-vous pas une identité remarquable ^^.

Niveau 4 :

+ C!! Evidemment. N’oubliez jamais cette constante, sinon votre résultat sera tout simplement faux. Pour rappel, la dérivé d’une constante est égale à 0. Ainsi, il n’est pas impossible que votre primitive possédait une constante :).

Pour vous remémorer de nombreuses notions sur les intégrales tel que l’intégration par partie ou le changement de variable, je vous renvois vers mon article : L’intégrale de x^i dx

En bonus, l’utilisation des nombres complexes :).

Niveau 5 :

Trouvez manuellement le vrai résultat de cette limite est plus compliqué. Mais c’est une formule très connue, vous avez sans doute déjà dû la voir dans un livre de première :

$\lim\limits_{\substack{n \to \infty}}(1+\frac{1}{n})^n = e$

En revanche, même sans connaitre cette formule, vous auriez dû repérer la forme indéterminée : $1^\infty$ . Si vous (comme moi avant) ne saviez pas pourquoi $1^\infty\neq 1$ dans tout les cas, maintenant vous avez un parfait contre-exemple:).

Pour calculer cette limite, on peut utiliser le logarithme et l’équivalent $\ln(1+x)\sim x$ lorsque $x\to0$ , ou un développement limité.