Résolution complexe : cos(x)sin(x)=1

Exercice :

Dans $\mathbb{R}$ et dans $\mathbb{C}$, résoudre :

$\cos x \sin x = 1$

Résolution :

1 - Recherche d’une solution dans R

Soit la formule de trigonométrie suivante :

$2sin(x)cos(x)=sin(2x)$

Alors :

$sin(x)cos(x)=\frac{sin(2x)}{2}$

Nous pouvons reprendre l’équation :

$cos(x)sin(x)=1$

Elle est donc équivalente à :

$sin(2x) = 2$

Comme \forall x \in \mathbb{R} \;|\; sin(x) \in \[0,1\].

Cette équation n’admet donc pas de solution dans R.

2 - Introduction des formules d’Euler

Continuons dans $\mathbb{C}$ :

Soit la formule d’Euler :

$sin(\theta)=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

En effectuant le changement de variable $\theta = 2x$, nous nous retrouvons avec l’équation suivante :

$\frac{e^{i2x}-e^{-i2x}}{2i} = 2$

3 - Substitution

En multipliant le numérateur et le dénominateur par i, on a :

$\frac{1}{2}ie^{-2ix}-\frac{1}{2}ie^{2ix}=2$

$\frac{1}{4\times \frac{-1}{2}ie^{2ix}}-\frac{1}{2}ie^{2ix}=2$

Prenons maintenant $y = \frac{-1}{2}ie^{2ix}$.

Cela nous revient à résoudre le système :

$\begin{cases}\frac{-1}{2}ie^{2ix} \; = \; y \cr \frac{1}{4y}+y \; = \; 2 \end{cases}$

4 - Recherche des solutions y

Soit :

$\frac{1}{4y}+y = 2$

En mettant sur le même dénominateur :

$\frac{4y^2+1}{4y}=2$

$4y^2-8y+1=0$

En utilisant les formule du second degré. On trouve aisément que :

Son discriminant $\Delta=64-16=48$. Cette équation admet donc 2 solutions réelles :

$y=1\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

5 - Recherche de la première solution

Soit $y=1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

En “dé-substituant” la variable y, nous nous retrouvons avec l’équation suivante :

$\frac{-ie^{2ix}}{2}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}$

$e^{2ix}=-\frac{2+\sqrt{3}}{i}$

$e^{2ix}=i(2+\sqrt{3})$

Avec $\forall k \in \mathbb{Z}$, nos équations appartenant au plan complexe, nous avons donc une infinité de solutions :

$e^{2ix+2ik\pi}=i(2+\sqrt{3})$

$2ix = ln(i(2+\sqrt{3})) - 2ik\pi$

Le signe de $2ik\pi$ n’a pas d’importance, k étant positif ou négatif. Ainsi nous obtenons la première solution :

$x = \frac{ln(i(2+\sqrt{3}))}{2i} + k\pi$

6 - Recherche de la deuxième solution

Soit $y=1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

En dé-substituant la variable y, nous nous retrouvons avec l’équation suivante :

$\frac{-ie^{2ix}}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$e^{2ix}=-\frac{2-\sqrt{3}}{i}$

$e^{2ix}=i(2-\sqrt{3})$

Avec $\forall k \in \mathbb{Z}$, nos équations appartenant au plan complexe, nous avons donc une infinité de solutions :

$e^{2ix+2ik\pi}=i(2-\sqrt{3})$

$2ix = ln(i(2-\sqrt{3})) - 2ik\pi$

Le signe de $2ik\pi$ n’a pas d’importance, k étant positif ou négatif. Ainsi nous obtenons la deuxième solution :

$x = \frac{ln(i(2-\sqrt{3}))}{2i} + k\pi$