Ensemble des parties d'un ensemble

Definition

L’ensemble des parties d’un ensemble $A$ est l’ensemble des ensembles qui sont des parties de $A$.

$2^A = \{a \mid a \subseteq A\}$

Exemple

Soit l’ensemble $A = \{a, b, c\}$.

L’ensemble des parties de A est $2^A = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}$.

Le cardinal de cet ensemble est $|2^A| = 2^{|A|} = 8$.

Ecriture en Latex

L’ensemble des parties d’un ensemble $A$ est écrit en latex avec la commande \mathcal{P}(A) ou 2^A.

Par exemple, l’ensemble des parties de $A = \{a, b, c\}$ est écrit en latex sous la forme $\mathcal{P}(A)$.

Utilisation en Python

La bibliothèque standard ne fournit pas directement powerset, mais la documentation de itertools propose cette courte recette fondée sur combinations.

Par exemple, l’ensemble des parties de $A = \{a, b, c\}$ est obtenu avec le code suivant:

from itertools import chain, combinations

def powerset(iterable):
    elements = list(iterable)
    return chain.from_iterable(
        combinations(elements, size)
        for size in range(len(elements) + 1)
    )

A = ('a', 'b', 'c')
P = list(powerset(A))

print(P)
# [(), ('a',), ('b',), ('c',), ('a', 'b'), ('a', 'c'), ('b', 'c'), ('a', 'b', 'c')]