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Mathématiques1 min de lecture

Formule de Sylvester

La formule de Sylvester, aussi appelée formule de Boole-Sylvester ou principe d'inclusion-exclusion est la formule du crible de Poincaré appliquée à l'ensemble des entiers naturels inférieurs à n.

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Identité :

La formule de Sylvester est la suivante :

#(⋃i=1nAi)=∑∅≠I⊆{1,…,n}(−1)#I+1#(⋂i∈IAi)\#\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{\varnothing\neq I\subseteq\{1,\ldots,n\}}(-1)^{\#I+1}\#\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)

Démonstration :

Vous pouvez télécharger la démonstration de la formule du crible de Wikiversity[3] au format PDF juste ici :

Formule du crible - Wikiversity

En savoir plus - sources :

  1. Inclusion–exclusion principle for belief functions
  2. Formule du crible - Wikiversity
  3. Formule du crible de Da Silva et Sylvester - les-mathematiques.net
  4. Putnam and Beyound - 6.2.4 The inclusion-exclusion principle
  5. About generalization in mathematics (III). On the inclusion and exclusion principle