Dérivées usuelles — Robin Pourtaud

Rappels

Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Par exemple, la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ est définie pour $x \geq 0$ .
La dérivée d’une fonction en un point donne le taux de variation instantané de la fonction à ce point. Elle est fondamentale en analyse pour étudier les variations des fonctions.

Tableau des dérivées usuelles

Domaine de dérivabilité	Fonction	Dérivée de la fonction	Exemple
$\mathbb{R}$	$k$	$0$	$f'(10) = 0$
$\mathbb{R}$	$kx$	$k$	$f'(5x) = 5$
$\mathbb{R}$	$x^n$ ( $n\in\mathbb{N}^*$ )	$nx^{n-1}$	$f'(x^{10}) = 10x^9$
$\mathbb{R}^{*+}$	$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$	$f'(\ln(x)) = \frac{1}{x}$
$\mathbb{R}$	$e^x$	$e^x$	$f'(e^x) = e^x$
$\mathbb{R}$	$\sin(x)$	$\cos(x)$	$f'(\sin(x)) = \cos(x)$
$\mathbb{R}$	$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$f'(\cos(x)) = -\sin(x)$
$\mathbb{R}\setminus\{\frac{(2k+1)\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\}$	$\tan(x)$	$1 + \tan^2(x)$	$f'(\tan(x)) = 1 + \tan^2(x)$
$\mathbb{R}\setminus\{k\pi, k\in\mathbb{Z}\}$	$\cot(x)$	$-1 - \cot^2(x)$	$f'(\cot(x)) = -1 - \cot^2(x)$
$\mathbb{R}^{*}$	$x^n$ (négatif)	$nx^{n-1}$	$f'(x^{-3}) = -3x^{-4}$
$(0, +\infty)$	$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$f'(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\mathbb{R}^*$ si $n$ est impair, $(0,+\infty)$ si $n$ est pair	$\sqrt[n]{x}$ ( $n\geq2$ )	$\frac{1}{n(\sqrt[n]{x})^{n-1}}$	$f'(\sqrt[3]{x}) = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2}$
$\mathbb{R}$	$a^x$ (a > 0, a ≠ 1)	$a^x\ln(a)$	$f'(2^x) = 2^x\ln(2)$
$\mathbb{R}$	$\sinh(x)$	$\cosh(x)$	$f'(\sinh(x)) = \cosh(x)$
$\mathbb{R}$	$\cosh(x)$	$\sinh(x)$	$f'(\cosh(x)) = \sinh(x)$
$\mathbb{R}$	$\tanh(x)$	$1 - \tanh^2(x)$	$f'(\tanh(x)) = 1 - \tanh^2(x)$

Ce tableau étendu offre une vision plus complète des dérivées courantes en mathématiques, couvrant une gamme variée de fonctions, y compris certaines fonctions exponentielles et hyperboliques. Ces dérivées sont essentielles pour diverses applications en analyse et en physique.