Démonstration : Somme des k(k parmi n)

Identité :

Une des célèbres formules utilisant les coefficients binomiaux est la suivante :

$\sum^n_{k=1} k\binom{n}{k} = n \times 2^{n-1}$

Démonstration :

1. On commence par reprendre la formule du binôme de Newton :

$\sum^n_{k=0} \binom{n}{k}a^{k}b^{n-k}=(a+b)^n$

2. Soit $b = 1$, alors :

$\sum^n_{k=0} \binom{n}{k}a^{k} = (a+1)^n$

3. Dérivons l’équation selon $a$ comme ceci :

$\frac{d}{da}\left(\sum^n_{k=0} \binom{n}{k}a^{k}\right) = \frac{d}{da}(a+1)^n$

4. Ce qui donne :

$\sum^n_{k=1} \binom{n}{k}ka^{k-1} = n(a+1)^{n-1}$

5. Nous pouvons maintenant prendre $a = 1$ et retrouver l’équation :

$\sum^n_{k=1} k\binom{n}{k} = n \times 2^{n-1}$

D’autres identités ici :

• Coefficient binomial - Wikipédia

Une autre démonstration ?

• Démonstration : Somme des k parmi n

• L’intégrale de x^i dx