Conditionnement d'une Matrice

Définition

Un système linéaire peut s’écrire sous forme de matrice par une équation du type AX=B. On dit de la matrice A qu’elle est mal conditionnée si une petite variation de B entraîne une grande variation de X.

Pour une matrice inversible A, sa fonction de conditionnement est :

$\kappa(A)=\Vert A \Vert \Vert A^{-1} \Vert$

Note : Plus $\kappa$ est élevé, plus la matrice A est mal conditionnée.

Exemple 1

Pour comprendre ce qu’est le conditionnement, prenons un exemple de système linéaire $AX=Y$ :

Matrice A et sa solution

Soit une matrice A :

$A=\begin{bmatrix} 10 & 7 & 8 & 7 \cr 7 & 5 & 6 & 5 \cr 8 & 6 & 10 & 9 \cr 7 & 5 & 9 & 10 \end{bmatrix}, Y=\begin{bmatrix}32 \cr 23 \cr 33 \cr 31\end{bmatrix}$

La solution de ce système sera donc :

$X = \begin{bmatrix}1\cr1\cr1\cr1\end{bmatrix}$

Exemple de variation

Il est intéressant de remarquer que si on varie faiblement $Y$ :

$\Delta_Y=\begin{bmatrix}0.1\cr-0.1\cr0.1\cr-0.1\end{bmatrix}$

Nous obtenons :

$X=\begin{bmatrix}9.2\cr-12.6\cr4.5\cr-1.1\end{bmatrix}$

Une petite variation $\Delta_Y$ sur $Y$ implique une grande variation de $X$ .
On dira de la matrice $A$ qu’elle est “mal conditionnée”.

Calcul du conditionnement

La fonction de conditionnement d’une matrice $A$ est $\kappa(A)=\Vert A \Vert \Vert A^{-1} \Vert$ , $A$ ayant un déterminant différent de 0 et donc étant inversible. Prenons la norme infini (avec $n = \dim A$ )

$\kappa_\infty(A)=\Vert A \Vert_{\infty} \Vert A^{-1} \Vert_{\infty} = \max_{1\leq i \leq n} \sum^n_{j=1}|A_{i,j}| \times \max_{1\leq i \leq n} \sum^n_{j=1}|(A^{-1})_{i,j}|$

Dans cet exemple: $\kappa(A)=33 \times 136 = 4488$ .

En python

Pour calculer le conditionnement rapidement en python, je vous propose de faire :

import numpy as np 
A = np.array([[10,7,8,7],[7,5,6,5],[8,6,10,9],[7,5,9,10]])
print(np.linalg.cond(A,np.inf))

Vous devriez obtenir le même résultat !

Pour en savoir plus sur le conditionnement : Python avec Numpy.

Exemple 2

Pour prendre un autre exemple: La “matrice B” est bien conditionnée:

Soit la matrice inversible B :

$B=\begin{bmatrix}1&7&2&1\cr7&5&1&5\cr8&6&10&9\cr7&5&9&1\end{bmatrix}$

Nous avons : $\kappa_\infty(B)=33\times \frac{303}{674}\approx14.8353$ .

Cette matrice est relativement bien conditionnée en comparaison avec la matrice $A$ .

Nous pouvons donc affirmer que pour un système linéaire $BX=Y$ , une petite variation de $Y$ n’engendra pas une grosse variation $X$ .